不知道上一期你有没有认真学习关于probability的基础知识呢？（点击回顾：ap统计学知识点总结：probability分析） 这一期我们将更深入地学习有关probability的规则和概念，然后再来解决标题里的ap统计学知识点总结：probability知识点及真题分析。

Part 1 Basic Probability Rules

在概率中有一些非常基本的规则，这些规则有时能帮助我们完成很多概率上的计算。而且这些规则大部分都非常直观！ 

Rule 1 --- 关于合理范围内的概率值

对于任何事件E而言，0 <= p(E) <= 1

如果一件事完全不可能发生，p(E) = 0；如果一件事一定发生，p(E) = 1；剩下的可能性就是介于这两者之间，值越大某件事发生的可能性越大。

但你一定没有听说过有啥事情发生的概率是-80%或者120%的！ 

Rule 2 --- 关于sample space

p(S) = 1

简单来说，就是sample space里所有事件发生的可能性之和为1。（还记得上期的“荷包蛋”吧？整个黄框就已经框进了所有可能性。） 

Rule 3 --- 关于completement

p(E) + p(EC)=1

还记得completement（补集）吗？EC就是所有除了E以外的结果的集合，那E和EC合起来就组成了所有可能结果的集合，它俩分别发生的概率之和肯定就等于1啦。 Rule 4 --- 关于概率加法的基本法则

对于两个事件E和F来说，p(E∪F) = p(E) + p(F) - p(E∩F)

为什么呢？给你个小提示：把E和F的Venn Diagram画出来。 画出来是这样的（见图5）：

图5 

是不是秒懂了？E与F的union（=E∪F=E or F）包含E、F以及它们相交的部分。然而p(E)+p(F)的时候中间重叠的面积被加了两次，所以要减掉一个p(E∩F)才能得到p(E∪F)。 Rule 5 --- 关于disjoint events的加法法则

好的，一段时间没碰骰子我又想开始扔它了。（骰子辛苦了！）想想这两个事件，A = {2}和B = {4}。当我一次扔一个骰子的时候，这两个事件有可能同时出现的吗？ 当然不可以！我扔一次骰子，最后朝上的肯定只能是一个数字，不管是2还是4还是别的什么，但绝不可能是既2又4！像这样的两个不可能同时发生的事件就被称为disjoint events（或者mutually exclusive events）。 请你想想，对于两个disjoint event A和B来说，p(A∪B)等于什么呢？ 遇事不决就画Venn Diagram（见图6）。 

图6

啊哈！这个图跟前面的都不太一样呢，代表两个事件的圆圈居然没有相交！当然啦，因为A={2}和B={4}不可能同时发生，也就意味着p(A∩B) = 0！ 那带入Rule 4里的概率加法法则，p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = p(A) + p(B) – 0 = p(A) + p(B)。所以：

对于两个disjoint events A和B来说，p(A∪B) = p(A) + p(B)

是的，就是这么简单直接！ Part 4Conditional Probability 在之前抛骰子的例子里，当我们好奇某个数字朝上的概率时，我们列出来的sample space都包含了所有6种可能的结果，比如数字“4”朝上的概率就是1/6。 但是假如我瞟了一眼结果后偷偷告诉你，这次朝上的数字是个偶数，这时这个数字是“4”的概率还是1/6吗？（提示：考虑一下sample space有没有变化）

不是了！因为如果我们预先知道朝上的数字是个偶数，那么sample space就会发生改变，因为只有2、4、6是可能出现的结果，那么这个数字是“4”的概率就是1/3。 我们用A|B的方式来表示预先知道某些条件的结果，表示“当我们知道B发生的时候A发生了”，或者 “A given B”。 这就给大家举个例子 假如我们在一群学生中做调查，统计关于他们是否有在EP学习的经历以及AP统计是否五分的人数，收集到这些结果：

AP统计5分:)AP统计没有5分呜呜呜Totals有在EP学习过！1005105没有在EP学习过:(306090Totals13065195 根据表格里的数据，请问在调研对象中随机抽取一位学生AP统计5分的概率是多少？

AP统计5分一共有130位同学，总共调研了195位同学，p(5分) = 130/195 = 66.7%。 下一个问题！如果随机抽取的一位学生AP统计5分，那么ta在EP学习过的概率是多少呢？ 首先AP统计5分是一个限定的条件。然后我们来看，有多少位同学AP统计5分呢？130位。那既AP统计5分又在EP学习过的同学有多少位呢？100位。所以题目问的其实是在AP统计5分的条件下，AP统计五分和在EP学习过两种情况都满足的同学所占的比例：p(在EP学习过|5分) = 100/130 = 76.9%。 Conditional probability指的就是在条件B的限制下事件A发生的概率，即p(A|B)。它要怎么计算呢？很简单，p(A|B) = p(A∩B)/p(B)，也就是A和B同时发生的概率/条件B发生的概率。那么：p(在EP学习过|5分) = p(在EP学习过∩5分)/p(5分)=(100/195)/(130/195)=100/130=76.9%，和我们之前分析计算出来的结果是一样的√ 给同学们留个思考题：对于disjoint events A和B来说，p(A|B)等于什么呢？（答案请见文末思维导图） 

【真题速递】

(2017 Q7)

首先我们用Venn Diagram把题目中的已知情况表示出来（见图7）：
 

图7

题目想让我们求的量是什么呢？风暴同时满足“originate in the Pacific Ocean” AND “be classified as major”这两个条件的概率。转化成统计语言，也就是计算p(PO∩M)。 观察Venn Diagram我们可以发现，因为PO有两种（Western & Eastern），所以p(PO∩M)其实就是p(WPO∩M)+p(EPO∩M)，Venn Diagram这两部分之和（见图8）： 

图8

因为conditional probability可以通过p(A|B) = p(A∩B)/p(B)计算，把公式转化一下，就可以得到p(A∩B) = p(A|B) * p(B)。那么：p(WPO∩M)+p(EPO∩M)= p(WPO|M) * p(M) + p(EPO|M) * p(M)= 25% * 50% + 15% * 30%= 0.17所以答案应该选C！ 

【解题思路】

遇到概率题，我们可以做两件事：1）画Venn Diagram帮助分析（表示出已知情况+找到我们要求的量）；2）把所有已知的概率条件列出来，看看我们能得到哪些信息。  Part 5Important Tips

1.1 Independent Events V.S. Disjoint/Mutually Exclusive Events

Independent Events(IE) 和Mutually Exclusive Events(ME)是比较容易混淆的一组概念。前面我们已经介绍了ME的概念，那么IE是什么呢？ 如果一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响，那么两个事件就是独立的，是一组independent events。 比如说你抛了一次硬币结果正面朝上（记为事件A），你又抛了一次硬币，这次正面朝上的概率（记为事件B）会被前一次的结果影响吗？ 当然不会，不管你抛几次硬币得到什么样的结果，你下次抛硬币得到正面或者反面朝上的结果依然是50%，不存在什么硬币正面罢工了就再也不想正面朝上的情况。那么这里事件A和事件B就是一组IE，因为前者对后者发生的概率没有影响。

一组IE事件A和B有两个性质：

性质1：p(A|B) = p(A) 且p(B|A) = p(B)

因为A和B互相不会产生任何影响，所以加上|B或者|A这样的条件对彼此起不到限制作用，对另一个事件出现的概率也便没有丝毫影响。 性质2：p(A∩B) = p(A) × p(B)

这是一条可以用来验证两组事件是否是IE的重要性质！它为什么成立呢？想想如果A和B是两组正常的事件，那么上文有讲过p(A|B) = p(A∩B)/p(B) à p(A∩B) = p(A|B) × p(B)。如果A和B是IE，性质1提到了p (A|B) = p(A)，带入上式不就变成了p(A∩B) = p(A) × p(B)嘛，正是性质2！ 一组ME一定不是一组IE，因为ME意味着有你就没有我，有我就没有你，意味着一组ME 是会互相影响的，一个事件的发生情况取决于另一个事件的情况。那么反过来，一组IE也一定不是一组ME。 但是一组事件如果不是IE就一定是ME吗？不一定。因为ME只是两个事件互相影响的其中一种方式！ 

1.2 Calculation of Union and Intersection

关于union和intersection的计算，IE、ME和普通的两组事件所对应的公式看起来千奇百怪，但其实本质都是从普通的两组事件的计算方式推导出来的！相信下面这张总结图（见图9）可以很好地帮你解决如何应用计算公式的问题~ 

图9 

【真题速递】

（2017 Q3）

首先我们把已知条件列出来：D和E是independent events; P(D) = 0.6 ; P(D∩E) = 0.18。选项里需要我们计算P(E)和P(D∪E)。 对于independent events来说，它们的交集P(D∩E) = P(D) * P(E)，所以P(E) = P(D∩E)/P(D) = 0.18/0.6 = 0.3。 接下来我们就要来求P(D∪E)。因为D和E是independent events，所以它们一定不是disjoint events，需要用通用公式计算并集，也就是P(D∪E) = P(D) + P(E) - P(D∩E) = 0.6 + 0.3 – 0.18 = 0.72。选择D！ 所以5.2中的总结图还是很有用的，要记住噢！ 

结  语

关于probability的讲解到这里就结束了~ 别忘了收下这份关于probability的思维导图总结噢 ，扫码免费领资料！下期再见啦！